第十二章应用数学 · 系统架构设计师

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12.1 排列组合

常考计算

📐排列组合常用公式

概念	公式	说明	示例
排列 A(n,m)	n!/(n-m)!	有序选取	A(5,3)=5×4×3=60
组合 C(n,m)	n!/[m!(n-m)!]	无序选取	C(5,3)=5×4×3/(3×2×1)=10
加法原理	N = m + n	分类计数（或的关系）	甲路3条，乙路2条，共5条
乘法原理	N = m × n	分步计数（且的关系）	上衣3件×裤子2条=6种
全排列	n!	n个元素全部排列	3!=6
圆排列	(n-1)!	围成一圈的排列	3人围坐=(3-1)!=2种

💡

排列有序，组合无序。判断是排列还是组合的关键：选取的元素是否有顺序。有顺序用排列A(n,m)，无顺序用组合C(n,m)。

排列 vs 组合决策流程

问题分析

选取元素
是否有顺序？

有顺序 → 排列 A(n,m)

或

问题分析

选取元素
是否有顺序？

无顺序 → 组合 C(n,m)

🎲

12.2 概率论基础

常考

📊核心概念与公式

条件概率：P(B|A) = P(AB) / P(A)。在事件A发生的条件下，事件B发生的概率

贝叶斯公式：P(Ai|B) = P(B|Ai) × P(Ai) / Σ[P(B|Aj) × P(Aj)]。用于"由果溯因"的概率推断

独立事件：P(AB) = P(A) × P(B)。两事件互不影响

互斥事件：P(A+B) = P(A) + P(B)。两事件不能同时发生

期望 E(X) = Σ[xi × P(xi)]。随机变量的加权平均值

方差 Var(X) = E[(X-μ)²] = E(X²) - [E(X)]²。度量随机变量的离散程度

📝贝叶斯公式应用示例

题目：某疾病发病率1%。检测准确率：患者95%检出阳性，健康人2%误报阳性。某人检测为阳性，其实际患病的概率是多少？

解：P(患病)=0.01，P(健康)=0.99
P(阳性|患病)=0.95，P(阳性|健康)=0.02
P(患病|阳性) = 0.95×0.01 / (0.95×0.01 + 0.02×0.99) = 0.0095 / 0.0293 ≈ 32.4%

结论：即使检测为阳性，实际患病的概率也只有约32%。这就是贝叶斯思维——需要结合先验概率。

贝叶斯公式流程图（由果溯因）

已知原因概率
P(Ai)

已知条件下概率
P(B|Ai)

推断原因概率
P(Ai|B)

P(Ai|B) = P(B|Ai) × P(Ai) / Σ[P(B|Aj) × P(Aj)]

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12.3 图论算法

常考

🔗图论算法对比

算法	解决问题	适用场景	时间复杂度	限制
Kruskal	最小生成树	稀疏图	O(E log E)	无负权边（生成树无此概念）
Prim	最小生成树	稠密图	O(V²) 或 O(E+V log V)	无负权边
Dijkstra	单源最短路径	非负权图	O(V²) 或 O(E+V log V)	不能处理负权边
Floyd	所有顶点对最短路径	任意图	O(V³)	不能有负权回路
Bellman-Ford	单源最短路径	含负权边图	O(VE)	不能有负权回路
拓扑排序	DAG线性排序	有向无环图	O(V+E)	仅适用于DAG

🌳最小生成树算法

Kruskal算法：按边的权重从小到大，依次选择不构成回路的边。基于并查集实现

Prim算法：从任意顶点出发，每次选择连接已选顶点和未选顶点的最小权重边。基于贪心思想

⚠️

Dijkstra不能处理负权边！这是高频考点。如果有负权边，应使用Bellman-Ford算法或Floyd算法。

图论算法选择决策图

什么问题？

最短路径？

有负权边？

无 → Dijkstra

或

什么问题？

最小生成树？

图稠密？

稠密 → Prim

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12.4 线性规划

理解

📊基本概念

目标函数：需要最大化或最小化的线性函数。如：max Z = 3x₁ + 5x₂

约束条件：限制变量取值的线性不等式或等式组

可行域：满足所有约束条件的解的集合。是一个凸多边形（二维情况）

最优解：目标函数在可行域上取得最值的点。一定在可行域的顶点上

图解法：在坐标系中画出可行域，找到使目标函数最优的顶点

单纯形法：通过迭代在顶点之间移动，寻找最优解的算法

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12.5 系统建模方法

理解

📈排队论（M/M/1模型）

符号含义：M/M/1 = 到达服从泊松分布 / 服务时间服从指数分布 / 1个服务台

到达率 λ：单位时间内到达的平均客户数

服务率 μ：单位时间内服务的平均客户数

利用率 ρ = λ/μ。系统繁忙的概率。要求 ρ < 1

Little公式：L = λW。系统中平均客户数 = 到达率 × 平均逗留时间

平均队长 Lq = ρ²/(1-ρ)。等待队列中的平均客户数

平均等待时间 Wq = ρ/(μ-λ)。在队列中等待的平均时间

🔄马尔可夫链与Petri网

马尔可夫链：下一状态仅与当前状态有关，与历史无关（无记忆性）。转移概率矩阵描述状态间的转换

稳态概率：经过足够长时间后，系统处于各状态的概率趋于稳定

Petri网：用图形描述并发、同步、冲突等行为的建模工具。基本元素：库所（Place）、变迁（Transition）、令牌（Token）

Petri网应用：工作流建模、协议验证、并发系统分析

💡

排队论中Little公式 L=λW是核心公式。理解λ是到达率，W是逗留时间，L是系统中平均客户数。考试经常直接考公式应用。

🌐

12.6 专业英语

5分

📖专业英语高频词汇表（50词）

英文	中文	英文	中文
Scalability	可扩展性	Availability	可用性
Reliability	可靠性	Maintainability	可维护性
Portability	可移植性	Reusability	可复用性
Interoperability	互操作性	Modularity	模块化
Coupling	耦合	Cohesion	内聚
Throughput	吞吐量	Latency	延迟
Redundancy	冗余	Fault Tolerance	容错
Load Balancing	负载均衡	Clustering	集群
Middleware	中间件	Gateway	网关
Repository	仓库/知识库	Framework	框架
Encapsulation	封装	Abstraction	抽象
Inheritance	继承	Polymorphism	多态
Concurrency	并发	Synchronization	同步
Transaction	事务	Consistency	一致性
Replication	复制	Partition	分区
Orchestration	编排	Containerization	容器化
Microservices	微服务	Service Mesh	服务网格
Deployment	部署	Continuous Integration	持续集成
Authentication	认证	Authorization	授权
Encryption	加密	Decryption	解密
Vulnerability	漏洞	Penetration Testing	渗透测试
Proxy	代理	Cache	缓存
Protocol	协议	Specification	规范/说明书
Component	构件/组件	Connector	连接件
Architecture	架构	Requirement	需求

💡专业英语阅读理解技巧

分值：专业英语通常5分，考阅读理解，不需要背所有单词

解题策略：先读题干→定位关键词→阅读相关段落→排除法选择

常见题型：词义理解、细节判断、主旨概括、推理判断

重点词汇：架构相关术语（如上面表格）是理解文章的关键

💡

专业英语通常是5分，考阅读理解，不需背所有单词。重点掌握常见的架构术语即可。考试时用排除法和上下文推断。

🎯

考试重点提示

必记

排列有序，组合无序——判断方法：选取元素是否有顺序

Dijkstra不能处理负权边——负权边用Bellman-Ford

专业英语通常5分，考阅读理解，不需背所有单词

排队论中Little公式 L=λW——核心公式

Kruskal按边选，Prim按点扩展——最小生成树

贝叶斯公式用于"由果溯因"的概率推断

🧪

章节练习

10题

🧪 第十二章练习

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应用数学与专业英语